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¿Qué es una combinatoria en matemáticas?

Matemáticas es la materia más vasta en toda la lista de materias que vemos en la escuela, desde divisiones hasta cosas más complicadas como las combinatorias o derivadas.  

En el caso de la nota de hoy te explico un poco de las combinatorias. 

¿Qué son las combinatorias? 

Cuando mencionamos el término combinatoria nos referimos a las propiedades y características de grupos de elementos que pertenecen a un conjunto finito y que tiene una serie de condiciones determinadas  

Según las características que tengan los elementos, se podrán clasificar en 3 grupos: variaciones, permutaciones o combinaciones. 

Valoraciones 

Una variación ordinaria de m elementos que se toman de n en n (Vm,n), al número de grupos que son diferentes, de n elementos y que se pueden formar con m elementos de un conjunto, por lo que cada en  cada grupo: 

  1. Importa el orden en que se colocan los elementos.
  2. No se repite ningún elemento del conjunto.
  3. No entran todos los elementos del conjunto 

Para poder visualizar mejor este término, pongamos algunos ejemplos.

En el caso de que queramos conocer los números de dos cifras distintas (n=2) que podamos sacar con los números 1,3,5,7 (m=4), es necesario hacer el siguiente ejercicio:

Al tener 4 dígitos seleccionados, podemos ver que solo podemos emparejar 1 con lo 3 restantes, por lo que tendremos las siguientes combinaciones: 

13-15-17; 31-35-37, 51-53-57 y 71-73-75

Para sacar de forma sencilla cuántos números de dos dígitos podemos tener es solo cuestión de multiplicar 4*3=12.

En este caso, lo que podemos ver es que se cumplen los tres puntos que mencionaba en un inicio. 

Valoraciones con repetición 

Dentro de este tipo de valoraciones los elementos sí se pueden repetir y el orden también influye en su colocación; se representa como VRm,n. 

Tomando el mismo ejemplo de querer saber sobre una valoración con repetición cuántos números de 2 dígitos podemos sacar de 2, 4 y 6 (m=3) nos encontramos con que: 

En el caso de la primera cifra (n=1) podemos sacar: 2-4-6, por lo tanto, VR3,1=3.

Para la cifra 2 (n=2) podemos sacar: 22-24-26, 42-44-46, 62-64-66, también como VR3,2= 9

Pasando a la cifra 3 (n=3) las variables serían:

Con 2 = 222-224-226-244-246-266-264-242-262 (9)

Con 4 = 444-442-446-422-426-466-462-424-464  (9)

Con 6 = 666-662-664-622-624-644-642-646-626  (9)

En total  lo podemos representar como 9 * 3 = 27; VR3,3= 27

Al ver estos desarrollos podemos deducir la fórmula de forma sencilla para conocer las valoraciones con repetición: VRm,n = mn

Permutaciones 

Este término se refiere a un grupo diferentes que se pueden formar con los elementos de un conjunto, con las siguientes características:

  1. Todos los elementos entran
  2. El orden en que se acomoden influye 
  3. No se repiten los elementos del grupo 

Se tiene que las permutaciones de m elementos coinciden con las valoraciones de m que se toman de m en m, o de otra forma Pm=Vm,n= m!

Existen dos tipos de permutaciones: circulares y con repetición.

Permutaciones circulares 

Estas se representan como PCm y son un caso especial que se usa para ordenar los elementos de un círculo. 

En este caso podemos buscar de cuántas formas distintas se pueden sentar 6 amigos (m=6) en una mesa redonda. 

Podemos decir que el orden influye en el orden en que se sientan, ya que cada uno tiene su asiento en la mesa. Además, no se pueden repetir, pues un niño solo puede tener un asiento. 

Con esas condiciones podemos determinar una permutación ordinaria de P6=6!, pero al ser una mesa circular, si todos los chicos se mueven un asiento a la derecha, la colocación sigue siendo la misma.

Como tenemos 6 asientos, la forma en que se pueden sentar los chicos se repite 6 veces, al final, el total de las formas en las que se pueden acomodar hay que dividirlo por seis. 

En otras formas de verlo:  PC6 = P6 / 6 = 6! / 6 = (6.5.4.3.2.1) / 6 = 5.4.3.2.1 = 5! = 120 formas distintas.

Por lo tanto, la fórmula para las permutaciones circulares es: PCm = P(m-1) = (m-1)!

Permutaciones con repetición 

En estas permutaciones los grupos se diferencian solo en el orden de la colocación de los elementos y que se repite un número indicado. 

Como ejemplo puede ser el calcular los números de 4 dígitos que se pueden sacar de la cifra 2.225.

En este número los elementos del conjunto son 4: m=4, donde el 2 se repite 3 veces, por lo que los números que podemos sacar son: 5222, 2522, 2252 y 2225.

Por lo que podemos ver que el número 2 es la cifra que se repite y que los números solo se descifran en el orden en que se colocan los elementos. 

Para poder calcular esta permutación con repetición la fórmula será: PRmv1,v2,v3,…,vn = m! / (v1!.v2!.v3!…vn!)

Combinaciones 

Son los elementos m que se toman de n en n (Cm,n) al número de grupos diversos que se pueden formar con m elementos de un conjunto, por lo que no importa el orden en que se colocan y no entran todos los elementos del conjunto. 

Como ejemplo podemos poner un concurso, donde queremos saber cuantos equipos de 2 alumnos (n=2) se pueden formar con 4 de ellos (m=4), que son los más destacados del salón.

Con Laura podemos formar las parejas: Laura-Tomás, Laura-Julián y Laura-Rebeca

En el caso de Tomás tenemos 2 parejas, ya que Laura-Trompas o Tomás-Laura es la misma, por lo que quedarían Tomás-Julián y Tomás-Rebeca.

Lo mismo pasa con Julián que solo podemos hacer 1 pareja que no teníamos, ya que las parejas que podemos formar son Julián-Rebeca.

En el caso de Rebeca, ya no podemos formar parejas distintas, pues todas ya están señaladas. 

Por lo que podemos decir que 3+2+1 nos da un total de 6 equipos, en los que no influye el orden de los factores al colocarlos, no se repiten y no todos los alumnos entran, siendo combinaciones igual a C4,2=6

Si en los equipos que ya formamos, cambiamos el orden de dos de los alumnos, tenemos 2 parejas diferentes lo que podemos ejemplificar como 6*2=12 equipos, o de otra forma V4,2 = 4 * 3 = 12.  Por lo tanto →C4,2 * P2 = V4,2 Despejando → C4,2 = V4,2 / P2 = (4*3) /(2*1) = 12 / 2 = 6

Esta fórmula se puede generalizar para m elementos tomados de n en n de la siguiente manera: Cm,n= Vm,n/Pn

Combinaciones con repetición

Dentro de estas los elementos se pueden repetir y no influye el orden en que se colocan, aunque los grupos se diferencian con algún elemento y se puede representar como CRm,n

De m elementos tomados de n en n debe ser equivalentes a las combinaciones ordinarias de m+n-1 elementos tomados de n en n, o CRm,n = Cm+n-1, n. 

En una manera más visual podemos ver que CR6,4: C6+4-1= C9,4=(9*8*7*6)/(4*3*2*1)= 3024/24=126

 

Como las integrales o las derivadas, las combinatorias también pueden ser un tema complicado con las fórmulas, por lo que si notas que tu hijo está teniendo problemas, es recomendable buscar ayuda con un profesor particular que le explique de la mejor manera la implicación de estas fórmulas matemáticas.

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